4. Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен $$6\sqrt{3}$$дм. Найдите периметр правильного шестиугольника, описанного около той же окружности.

Решение: Пусть $$P_3$$ - периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, $$P_6$$ - периметр правильного шестиугольника, описанного около той же окружности. Сторона правильного треугольника $$a_3 = \frac{P_3}{3} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$$ дм. Радиус описанной около треугольника окружности $$R = \frac{a_3\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3}\sqrt{3}}{3} = \frac{2 \cdot 3}{3} = 2$$ дм. Сторона правильного шестиугольника $$a_6 = \frac{2R\sqrt{3}}{3} = \frac{2 \cdot 2 \sqrt{3}}{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$$ дм. Периметр правильного шестиугольника $$P_6 = 6a_6 = 6 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{3} = 2 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$$ дм. Ответ: Периметр правильного шестиугольника равен $$8\sqrt{3}$$ дм.