1. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен $$\sqrt{3}$$см. Найдите периметр и площадь треугольника.

Решение: Пусть $$r$$ - радиус вписанной окружности, $$a$$ - сторона правильного треугольника. Известно, что $$r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$$. Дано: $$r = \sqrt{3}$$ см. Тогда $$\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$$. Отсюда $$a = 6$$ см. Периметр треугольника $$P = 3a = 3 \cdot 6 = 18$$ см. Площадь треугольника $$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$$ см$$^2$$. Ответ: Периметр равен 18 см, площадь равна $$9\sqrt{3}$$ см$$^2$$.