3. Вычислите длину дуги окружности с радиусом 4см, если её градусная мера равна $$120^{\circ}$$. Чему равна площадь соответствующего данной дуге кругового сектора?

Решение: Пусть $$R$$ - радиус окружности, $$\alpha$$ - градусная мера дуги. Длина дуги $$l = \frac{\pi R \alpha}{180^{\circ}}$$. Дано: $$R = 4$$ см, $$\alpha = 120^{\circ}$$. Тогда $$l = \frac{\pi \cdot 4 \cdot 120}{180} = \frac{480\pi}{180} = \frac{8\pi}{3}$$ см. Площадь сектора $$S = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^{\circ}}$$. Тогда $$S = \frac{\pi \cdot 4^2 \cdot 120}{360} = \frac{\pi \cdot 16 \cdot 120}{360} = \frac{1920\pi}{360} = \frac{16\pi}{3}$$ см$$^2$$. Ответ: Длина дуги равна $$\frac{8\pi}{3}$$ см, площадь сектора равна $$\frac{16\pi}{3}$$ см$$^2$$.