5. Периметр равнобедренного треугольника равен 42 см, разность двух сторон равна 18 см, а один из его внешних углов – острый. Найдите стороны треугольника.

Пусть стороны треугольника a, a, b. Периметр равен 42 см, значит: 2a + b = 42 Разность двух сторон равна 18 см. Возможны два случая: 1. a - b = 18, тогда a = b + 18. Подставим в уравнение периметра: 2(b + 18) + b = 42 2b + 36 + b = 42 3b = 42 - 36 3b = 6 b = 2 Тогда a = 2 + 18 = 20. Стороны треугольника 20, 20, 2. Проверим условие существования треугольника: 20 + 20 > 2 (40 > 2) - верно, 20 + 2 > 20 (22 > 20) - верно. Значит, такой треугольник существует. 2. b - a = 18, тогда b = a + 18. Подставим в уравнение периметра: 2a + (a + 18) = 42 3a + 18 = 42 3a = 42 - 18 3a = 24 a = 8 Тогда b = 8 + 18 = 26. Стороны треугольника 8, 8, 26. Проверим условие существования треугольника: 8 + 8 > 26 (16 > 26) - неверно. Значит, такой треугольник не существует. Теперь учтем условие, что один из внешних углов острый. Если внешний угол острый, то внутренний угол тупой (больше 90 градусов). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если угол при основании тупой, то сумма двух углов при основании больше 180 градусов, что невозможно. Значит, тупой угол находится напротив основания. Стороны 20, 20, 2. В данном случае основание равно 2. Ответ: Стороны треугольника 20 см, 20 см, 2 см.