2. Периметр ромба равен 24, а косинус одного из углов равен $\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Найдите площадь ромба.

Пусть сторона ромба равна *a*. Так как периметр ромба равен 24, то \[4a = 24\] \[a = 6\] Площадь ромба можно вычислить по формуле: \[S = a^2 \cdot sin(\alpha)\] где *a* – сторона ромба, а \(\alpha\) – один из его углов. Нам известен \(cos(\alpha) = \frac{2\sqrt{2}}{3}\). Чтобы найти \(sin(\alpha)\), воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \[sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1\] \[sin^2(\alpha) = 1 - cos^2(\alpha)\] \[sin^2(\alpha) = 1 - \left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)^2 = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}\] \[sin(\alpha) = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}\] Тогда площадь ромба: \[S = 6^2 \cdot \frac{1}{3} = 36 \cdot \frac{1}{3} = 12\] Ответ: Площадь ромба равна 12.