17 Периметр треугольника ABC равен 24. На сторонах AB и BC отмечены точки E и F соответственно так, что BE:EA = BF:FC = 3:1. Прямая EF касается окружности, вписанной в треугольник. а) Докажите, что AC = 3. б) Найдите площадь треугольника ABC, если ∠ACB = 90°.

а) Доказательство, что AC = 3: Пусть P - периметр треугольника ABC, P = 24. Пусть a, b, c - длины сторон BC, AC, AB соответственно. Тогда a + b + c = 24. Так как BE:EA = BF:FC = 3:1, то пусть BE = 3x, EA = x, BF = 3y, FC = y. Тогда c = AB = 4x, a = BC = 4y. Так как EF касается вписанной окружности, то по теореме о касательной и секущей можно установить связь между сторонами и радиусом вписанной окружности. Однако, для простоты рассуждений будем считать, что окружность касается стороны AC в точке D. Пусть AD = z, DC = b - z. Из равенства отрезков касательных, проведенных из одной точки к окружности, получаем определенные соотношения между сторонами. Требуется доказать, что AC = b = 3. Это можно сделать, используя свойства касательных к вписанной окружности и подобия треугольников (если EF || AC). Если доказать, что EF || AC, тогда треугольники BEF и BAC подобны. Тогда BE/BA = BF/BC = EF/AC = 3/4. А так как прямая EF касается окружности, вписанной в треугольник ABC, то это означает, что треугольник ABC - равнобедренный (AB = BC) или около него можно описать окружность. Из условия BE:EA = BF:FC = 3:1 следует, что AB = c = 4x, BC = a = 4y. Если AB = BC, то c = a, значит 4x = 4y, x = y. Доказательство того, что AC = 3, требует дополнительных геометрических рассуждений, связанных с касанием EF вписанной окружности и соотношениями сторон треугольника. б) Найдите площадь треугольника ABC, если ∠ACB = 90°. Если ∠ACB = 90°, то треугольник ABC - прямоугольный. Тогда a² + b² = c². Площадь треугольника ABC равна S = (1/2)ab. Также известно, что a + b + c = 24 и b = 3. Тогда a + c = 21. Из теоремы Пифагора: a² + 3² = c² => a² + 9 = c² => c² - a² = 9 => (c - a)(c + a) = 9. Так как c + a = 21, то (c - a) = 9/21 = 3/7. Теперь у нас есть система уравнений: c + a = 21 c - a = 3/7 Сложим уравнения: 2c = 21 + 3/7 = (147 + 3) / 7 = 150 / 7 => c = 75 / 7. Вычтем уравнения: 2a = 21 - 3/7 = (147 - 3) / 7 = 144 / 7 => a = 72 / 7. Тогда S = (1/2)ab = (1/2) * (72/7) * 3 = 108 / 7. Ответ: S = 108/7