15 Решите неравенство (5x - x² - 4) / (x² - 4x) ≤ 2 - 8 / (x + 3).

Решим неравенство: (5x - x² - 4) / (x² - 4x) ≤ 2 - 8 / (x + 3). 1. Перенесем все в одну сторону: (5x - x² - 4) / (x² - 4x) - 2 + 8 / (x + 3) ≤ 0 2. Приведем к общему знаменателю: x² - 4x = x(x - 4) [(5x - x² - 4)(x + 3) - 2x(x - 4)(x + 3) + 8x(x - 4)] / [x(x - 4)(x + 3)] ≤ 0 3. Раскроем скобки и упростим числитель: [5x² + 15x - x³ - 3x² - 4x - 12 - 2x(x² - x - 12) + 8x² - 32x] / [x(x - 4)(x + 3)] ≤ 0 [5x² + 15x - x³ - 3x² - 4x - 12 - 2x³ + 2x² + 24x + 8x² - 32x] / [x(x - 4)(x + 3)] ≤ 0 [-3x³ + 12x² + 3x - 12] / [x(x - 4)(x + 3)] ≤ 0 -3[x³ - 4x² - x + 4] / [x(x - 4)(x + 3)] ≤ 0 4. Разложим числитель на множители: x³ - 4x² - x + 4 = x²(x - 4) - (x - 4) = (x² - 1)(x - 4) = (x - 1)(x + 1)(x - 4) 5. Тогда неравенство имеет вид: -3[(x - 1)(x + 1)(x - 4)] / [x(x - 4)(x + 3)] ≤ 0 3[(x - 1)(x + 1)(x - 4)] / [x(x - 4)(x + 3)] ≥ 0 6. Сократим (x - 4), но учтем, что x ≠ 4. [(x - 1)(x + 1)] / [x(x + 3)] ≥ 0, x ≠ 4 7. Решим методом интервалов: Нули: x = -1, x = 1 Асимптоты: x = -3, x = 0 Интервалы: (-∞; -3), (-3; -1], [-1; 0), (0; 1], [1; 4), (4; +∞) Определим знаки на каждом интервале: (-∞; -3): (+) (-3; -1]: (-) [-1; 0): (+) (0; 1]: (-) [1; 4): (+) (4; +∞): (+) Решение: x ∈ (-∞; -3) ∪ [-1; 0) ∪ (0; 1] ∪ (4; +∞)