Период свободных колебаний пружинного маятника равен 0,5 с. Каким станет период свободных колебаний этого маятника, если массу груза маятника увеличить в 2 раза, а жесткость пружины вдвое уменьшить? Ответ дайте в секундах.

Решение:

Период свободных колебаний пружинного маятника вычисляется по формуле: \( T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \), где \( m \) — масса груза, \( k \) — жесткость пружины.

Дано:

• Начальный период: \( T_1 = 0.5 \text{ с} \)
• Начальная масса: \( m_1 \)
• Начальная жесткость: \( k_1 \)
• Новая масса: \( m_2 = 2 m_1 \)
• Новая жесткость: \( k_2 = \frac{k_1}{2} \)

Из начальных условий имеем:

\[ T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m_1}{k_1}} = 0.5 \text{ с} \]

Новый период \( T_2 \) будет:

\[ T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{m_2}{k_2}} = 2\pi \sqrt{\frac{2 m_1}{k_1/2}} = 2\pi \sqrt{\frac{2 m_1 \cdot 2}{k_1}} = 2\pi \sqrt{\frac{4 m_1}{k_1}} \]

Вынесем \( \sqrt{4} = 2 \) из-под корня:

\[ T_2 = 2 \cdot 2\pi \sqrt{\frac{m_1}{k_1}} \]

Заметим, что \( 2\pi \sqrt{\frac{m_1}{k_1}} = T_1 \). Следовательно:

\[ T_2 = 2 \cdot T_1 \]

Подставляем значение \( T_1 \):

\[ T_2 = 2 \cdot 0.5 \text{ с} = 1 \text{ с} \]

Ответ: 1 с.