При неизменной концентрации молекул идеального газа средняя квадратичная скорость теплового движения его молекул уменьшилась в 2 раза. Чему равно отношение конечного давления к начальному?

Решение:

Для идеального газа справедливы следующие соотношения:

Средняя квадратичная скорость молекул: \( v_{кв} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} \), где \( R \) — универсальная газовая постоянная, \( T \) — температура, \( M \) — молярная масса.

Давление идеального газа: \( p = \frac{1}{3} \rho \overline{v^2} \), где \( \rho \) — плотность газа, \( \overline{v^2} \) — средний квадрат скорости (равен квадрату средней квадратичной скорости).

По условию, средняя квадратичная скорость уменьшилась в 2 раза, то есть \( v'_{кв} = \frac{1}{2} v_{кв} \).

Следовательно, средний квадрат скорости также уменьшился в 4 раза: \( \overline{v'^2} = \left(\frac{1}{2} v_{кв}\right)^2 = \frac{1}{4} v_{кв}^2 = \frac{1}{4} \overline{v^2} \).

Концентрация молекул \( n \) остается неизменной. Плотность газа \( \rho = nm \), где \( m \) — масса одной молекулы. Если концентрация и масса одной молекулы постоянны, то плотность \( \rho \) тоже постоянна.

Давление газа пропорционально среднему квадрату скорости молекул при постоянной плотности:

\[ p ∝ \overline{v^2} \]

Пусть начальное давление \( p_1 \) и начальный средний квадрат скорости \( \overline{v_1^2} \).

Конечное давление \( p_2 \) и конечный средний квадрат скорости \( \overline{v_2^2} \) связаны соотношением:

\[ \frac{p_2}{p_1} = \frac{\overline{v_2^2}}{\overline{v_1^2}} \]

Так как \( \overline{v_2^2} = \frac{1}{4} \overline{v_1^2} \), то:

\[ \frac{p_2}{p_1} = \frac{\frac{1}{4} \overline{v_1^2}}{\overline{v_1^2}} = \frac{1}{4} \]

Ответ: 1/4.