Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 84 км/ч, а вторую — со скоростью 108 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Обозначим половину пути как \( S \). Общее расстояние равно \( 2S \).
2. Шаг 2: Время, затраченное на первую половину пути: \( t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{S}{84} \) ч.
3. Шаг 3: Время, затраченное на вторую половину пути: \( t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{S}{108} \) ч.
4. Шаг 4: Общее время в пути: \( t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{S}{84} + \frac{S}{108} \).
5. Шаг 5: Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 84 и 108 равно 756. \( t_{общ} = \frac{9S}{756} + \frac{7S}{756} = \frac{16S}{756} \).
6. Шаг 6: Средняя скорость \( v_{ср} = \frac{\text{Общее расстояние}}{\text{Общее время}} = \frac{2S}{\frac{16S}{756}} \).
7. Шаг 7: Упростим выражение: \( v_{ср} = \frac{2S ⋅ 756}{16S} = \frac{2 ⋅ 756}{16} = \frac{756}{8} \).
8. Шаг 8: Вычислим среднюю скорость: \( v_{ср} = 94.5 \) км/ч.

Ответ: 94.5 км/ч