Постройте график функции y = 1/2 * ( |x/4.5 - 4.5/x| + |x/4.5 + 4.5/x| ). Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Раскроем модули. Рассмотрим два случая: \( x > 0 \) и \( x < 0 \).
2. Шаг 2: Если \( x > 0 \): \( |x/4.5 - 4.5/x| + |x/4.5 + 4.5/x| \). Так как \( x/4.5 + 4.5/x > 0 \) при \( x > 0 \), то \( |x/4.5 + 4.5/x| = x/4.5 + 4.5/x \).
3. Шаг 3: Для \( |x/4.5 - 4.5/x| \) рассмотрим два подслучая:
   • Если \( x/4.5 ≥ 4.5/x \) (т.е. \( x^2 ≥ 4.5^2 \) или \( x ≥ 4.5 \)), то \( |x/4.5 - 4.5/x| = x/4.5 - 4.5/x \).
   • Если \( x/4.5 < 4.5/x \) (т.е. \( 0 < x < 4.5 \)), то \( |x/4.5 - 4.5/x| = -(x/4.5 - 4.5/x) = 4.5/x - x/4.5 \).
4. Шаг 4: Подставляем в исходную функцию для \( x > 0 \):
   • При \( x ≥ 4.5 \): \( y = rac{1}{2} ig( (x/4.5 - 4.5/x) + (x/4.5 + 4.5/x) ig) = rac{1}{2} ig( 2x/4.5 ig) = x/4.5 \).
   • При \( 0 < x < 4.5 \): \( y = rac{1}{2} ig( (4.5/x - x/4.5) + (x/4.5 + 4.5/x) ig) = rac{1}{2} ig( 2 ⋅ 4.5/x ig) = 4.5/x \).
5. Шаг 5: Если \( x < 0 \): Обозначим \( x = -t \), где \( t > 0 \). \( y = rac{1}{2} ig( |-t/4.5 - 4.5/(-t)| + |-t/4.5 + 4.5/(-t)| ig) = rac{1}{2} ig( |-t/4.5 + 4.5/t| + |-t/4.5 - 4.5/t| ig) \). \( y = rac{1}{2} ig( |-(t/4.5 - 4.5/t)| + |-(t/4.5 + 4.5/t)| ig) = rac{1}{2} ig( |t/4.5 - 4.5/t| + |t/4.5 + 4.5/t| ig) \). Это та же функция, что и для \( x > 0 \), но с \( t \) вместо \( x \). Значит, при \( x < 0 \):
   • При \( x ≤ -4.5 \): \( y = x/4.5 \).
   • При \( -4.5 < x < 0 \): \( y = 4.5/x \).
6. Шаг 6: График состоит из двух частей: \( y = x/4.5 \) для \( |x| ≥ 4.5 \) и \( y = 4.5/x \) для \( 0 < |x| < 4.5 \).
7. Шаг 7: Анализируем количество точек пересечения прямой \( y=m \) с графиком.
   • Если \( m > 0 \):
   • Прямая \( y = m \) пересекает \( y = x/4.5 \) при \( x = 4.5m \). Если \( 4.5m ≥ 4.5 \) (т.е. \( m ≥ 1 \)), то есть одна точка.
   • Прямая \( y = m \) пересекает \( y = 4.5/x \) при \( x = 4.5/m \). Если \( 0 < 4.5/m < 4.5 \) (т.е. \( m > 1 \)), то есть одна точка.
   • Таким образом, при \( m > 1 \) - две точки пересечения.
   • При \( m = 1 \) - две точки пересечения (одна на \( y=x/4.5 \) при \( x=4.5 \), другая на \( y=4.5/x \) при \( x=4.5 \)).
   • При \( 0 < m < 1 \) - две точки пересечения (обе на \( y=4.5/x \)).
   • Если \( m = 0 \): Прямая \( y=0 \) не пересекает график (так как \( x \) и \( 4.5 \) не равны нулю).
   • Если \( m < 0 \): Аналогично \( m > 0 \), будут две точки пересечения.
8. Вывод: Прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно две точки пересечения при \( m > 0 \) и \( m < 0 \), то есть при \( m ≠ 0 \).

Ответ: m ≠ 0