21 Первый велосипедист выехал из посёлка по шоссе со скоростью 15 км/ч. Через час после него со скоростью 10 км/ч из того же посёлка в том же направлении выехал второй велосипедист, а ещё через час - третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 5 часов после этого догнал первого.

Пусть x км/ч - скорость третьего велосипедиста.

Второй велосипедист выехал на час позже первого, значит, первый был в пути на час больше. Третий велосипедист выехал на два часа позже первого, значит, первый был в пути на два часа больше.

Пусть t - время, когда третий велосипедист догнал второго. Расстояние, которое проехал второй велосипедист до встречи с третьим, равно расстоянию, которое проехал третий велосипедист до встречи со вторым.

$$10t = x(t-1)$$

$$xt - x = 10t$$

$$t(x-10) = x$$

$$t = \frac{x}{x-10}$$

Известно, что через 5 часов после того, как третий велосипедист догнал второго, он догнал первого.

Расстояние, которое проехал первый велосипедист до встречи с третьим, равно расстоянию, которое проехал третий велосипедист до встречи с первым.

$$15(t+5+1) = x(t+5-1)$$

$$15(t+6) = x(t+4)$$

$$15t + 90 = xt + 4x$$

Подставим $$t = \frac{x}{x-10}$$ в уравнение

$$15 \cdot \frac{x}{x-10} + 90 = x \cdot \frac{x}{x-10} + 4x$$

$$15x + 90(x-10) = x^2 + 4x(x-10)$$

$$15x + 90x - 900 = x^2 + 4x^2 - 40x$$

$$5x^2 - 145x + 900 = 0$$

$$x^2 - 29x + 180 = 0$$

$$D = (-29)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 180 = 841 - 720 = 121$$

$$x_1 = \frac{-(-29) + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{29 + 11}{2} = \frac{40}{2} = 20$$

$$x_2 = \frac{-(-29) - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{29 - 11}{2} = \frac{18}{2} = 9$$

По условию задачи скорость третьего велосипедиста больше скорости второго, то есть больше 10 км/ч. Следовательно, x = 9 не подходит.

Ответ: 20 км/ч