1. Площадь прямоугольного треугольника равна 180 см². Найдите катеты этого треугольника, если один больше другого на 31 м.

Обозначим меньший катет за x см, тогда больший катет будет (x + 31) см. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Составим уравнение:

$$ \frac{1}{2}x(x + 31) = 180 $$

Умножим обе части уравнения на 2:

$$ x(x + 31) = 360 $$ $$ x^2 + 31x = 360 $$ $$ x^2 + 31x - 360 = 0 $$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:

$$ D = 31^2 - 4(1)(-360) = 961 + 1440 = 2401 $$ $$ \sqrt{D} = \sqrt{2401} = 49 $$

Корни:

$$ x_1 = \frac{-31 + 49}{2} = \frac{18}{2} = 9 $$ $$ x_2 = \frac{-31 - 49}{2} = \frac{-80}{2} = -40 $$

Так как длина катета не может быть отрицательной, то x = 9 см. Тогда другой катет равен 9 + 31 = 40 см.

Ответ: 9 см и 40 см.