25. Плоскость, проходящая через сторону основания правильной треугольной призмы и середину противолежащего ребра, образует с основанием угол 45°. Сторона основания l. Найдите боковую поверхность призмы.

Пусть сторона основания правильной треугольной призмы равна l. Плоскость, проходящая через сторону основания и середину противолежащего ребра, образует с основанием угол 45°.

Обозначим высоту призмы через h. Тогда высота треугольника, образованного сечением, равна h/2.

Тангенс угла между плоскостью сечения и основанием равен отношению высоты сечения к половине стороны основания: $$\tan{45°} = \frac{h/2}{\frac{l\sqrt{3}}{6}}$$.

Так как $$\tan{45°} = 1$$, получаем: $$1 = \frac{h/2}{\frac{l\sqrt{3}}{6}}$$, откуда $$h = \frac{l\sqrt{3}}{3}$$.

Боковая поверхность призмы равна $$S_{бок} = 3lh = 3l \cdot \frac{l\sqrt{3}}{3} = l^2\sqrt{3}$$.

Ответ: $$l^2\sqrt{3}$$