По параллелограмму: Дайте определение параллелограмма. Является ли параллелограмм выпуклым четырёхугольником? Докажите, что в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны. Докажите, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Сформулируйте и докажите признаки параллелограмма.

Определение и выпуклость. Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Он выпуклый: каждая параллельных противоположных сторон образует границу фигуры, лежащей в одной из полос между соответствующими параллельными прямыми; внутренние углы при этом меньше 180°.

Противоположные стороны и углы. Пусть ABCD — параллелограмм, проведём диагональ AC. Так как AB ∥ CD и BC ∥ AD, то ∠BAC = ∠DCA и ∠BCA = ∠DAC (накрест лежащие углы). Сторона AC общая, поэтому треугольники ABC и CDA равны по стороне и двум прилежащим углам. Отсюда AB = CD, BC = AD, а соответствующие углы при вершинах B и D равны. Кроме того, соседние углы параллелограмма в сумме дают 180°; значит, равенство одного противоположного угла другому следует и из того, что каждый дополнительный к равным соседним углам. Таким образом, противоположные углы равны.

Диагонали делятся пополам. Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке O. В треугольниках AOB и COD: ∠ABO = ∠CDO и ∠BAO = ∠DCO как накрест лежащие углы, а AB = CD по доказанному. Треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам. Следовательно, AO = OC и BO = OD.

Признаки параллелограмма.

1. Если в четырёхугольнике обе пары противоположных сторон равны, то он является параллелограммом. Проведём диагональ: получатся два треугольника с тремя попарно равными сторонами, поэтому они равны. Равные накрест лежащие углы дают параллельность каждой пары противоположных сторон.
2. Если одна пара противоположных сторон равна и параллельна, то четырёхугольник является параллелограммом. Диагональ образует треугольники, равные по стороне и двум прилежащим углам (равенство углов следует из параллельности, а одна сторона общая). Тогда вторая пара противоположных сторон параллельна как стороны при равных накрест лежащих углах.
3. Если диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, то он является параллелограммом. В треугольниках AOB и COD равны вертикальные углы и прилежащие к ним стороны AO = OC, BO = OD. Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Равенство накрест лежащих углов показывает, что AB ∥ CD. Аналогично AD ∥ BC.