По прямоугольнику: Какой четырёхугольник называется прямоугольником? Докажите, что диагонали прямоугольника равны. Сформулируйте и докажите признак прямоугольника.

Определение. Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые.

Диагонали равны. Пусть ABCD — прямоугольник. Рассмотрим прямоугольные треугольники ABC и BAD. У них AB — общая сторона, BC = AD как противоположные стороны параллелограмма. Треугольники равны по двум катетам, поэтому их гипотенузы равны: AC = BD.

Признак прямоугольника. Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником. Действительно, пусть ABCD — параллелограмм и AC = BD. В треугольниках ABC и BAD: AB — общая сторона, BC = AD как противоположные стороны параллелограмма, AC = BD по условию. Треугольники равны по трём сторонам, поэтому ∠ABC = ∠BAD. Эти соседние углы параллелограмма в сумме равны 180°, следовательно, каждый равен 90°. Значит, параллелограмм — прямоугольник.