По трапеции: Какой четырёхугольник называется трапецией? Как называются её стороны? Какая трапеция называется равнобедренной? Прямоугольной? Сформулируйте и докажите свойства равнобедренной трапеции.

Определение. Трапеция — четырёхугольник, у которого ровно одна пара противоположных сторон параллельна. Параллельные стороны называются основаниями, две другие — боковыми сторонами.

Виды трапеций. Равнобедренная трапеция — трапеция, боковые стороны которой равны. Прямоугольная трапеция — трапеция, у которой одна боковая сторона перпендикулярна основаниям; поэтому она содержит два прямых угла.

Свойства равнобедренной трапеции. Углы при каждом основании равны, а диагонали равны. Докажем. Пусть ABCD — равнобедренная трапеция, AB ∥ CD, AD = BC. Опустим перпендикуляры из D и C на AB. Их высоты равны как расстояния между параллельными прямыми. Прямоугольные треугольники у концов меньшего основания имеют равные гипотенузы AD и BC и равные катеты-высоты, поэтому равны. Отсюда равны соответствующие проекции боковых сторон на AB, а углы при основании AB равны. Поскольку углы при каждой боковой стороне в сумме составляют 180°, равны и углы при CD.

Для диагоналей рассмотрим треугольники DAB и CBA: AD = BC по условию, AB — общая сторона, а ∠DAB = ∠CBA по доказанному. Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно, DB = CA.