По ромбу: Какой четырёхугольник называется ромбом? Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам. Сформулируйте и докажите признаки ромба.

Определение. Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны.

Диагонали перпендикулярны и делят углы пополам. Пусть ABCD — ромб, а диагонали AC и BD пересекаются в O. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, значит, BO = OD. В треугольниках AOB и AOD: AB = AD, AO — общая сторона, BO = OD. Треугольники равны по трём сторонам. Поэтому ∠BAO = ∠OAD, то есть AC делит угол A пополам. Аналогично диагонали делят пополам углы при остальных вершинах. Также ∠AOB = ∠AOD: это смежные углы, равные как соответствующие углы равных треугольников. Значит, оба равны 90°, и AC ⟂ BD.

Признаки ромба.

1. Если все стороны параллелограмма равны, он является ромбом — это определение.
2. Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то он является ромбом. Пусть диагонали AC и BD пересекаются в O. Диагонали параллелограмма делятся пополам, поэтому AO = OC. Треугольники AOB и COB прямоугольные, имеют общий катет BO и равные катеты AO и OC, следовательно, равны. Отсюда AB = BC. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому все четыре стороны равны; значит, это ромб.
3. Если диагональ параллелограмма делит его угол пополам, то параллелограмм является ромбом. Например, если AC делит ∠DAB пополам, то ∠DAC = ∠CAB. Из параллельности AD ∥ BC следует ∠DAC = ∠BCA. Значит, ∠CAB = ∠BCA, и в треугольнике ABC равны противоположные этим углам стороны: AB = BC. Противоположные стороны параллелограмма равны, следовательно, все его стороны равны.