По рисунку 1 вычислите значение МК, отношение РЕ: NK, отношение площадей треугольников МЕР и МКN, если РЕ || NK, MP = 8 см, MN = 12 см, ME= 6 см.

1. Рассмотрим треугольники МЕР и МKN. Угол М - общий, угол МЕР = углу МKN (как соответственные при РЕ || NK). Следовательно, треугольники МЕР и МKN подобны по двум углам.

2. В подобных треугольниках стороны пропорциональны: $$ \frac{ME}{MK} = \frac{MP}{MN}$$. Выразим МК: $$MK = \frac{ME \cdot MN}{MP} = \frac{6 \cdot 12}{8} = \frac{72}{8} = 9 \text{ см}$$.

3. Найдем отношение РЕ : NK. Так как треугольники подобны, то $$ \frac{PE}{NK} = \frac{ME}{MK} = \frac{MP}{MN} = \frac{6}{9} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$$.

4. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $$ \frac{S_{MEP}}{S_{MKN}} = (\frac{ME}{MK})^2 = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$$.

Ответ: МК = 9 см, РЕ : NK = 2/3, отношение площадей треугольников МЕР и МКN = 4/9.