По рисунку 1 вычислите значение ОВ, отношение АС: BD, отношение площадей треугольников АОС и BOD, если угол А равен углу B. DO=6 см, АО = 5 см, СО = 4 см.

1. Рассмотрим треугольники АОС и BOD. Угол А = углу В (по условию), угол АОС = углу BOD (как вертикальные). Следовательно, треугольники АОС и BOD подобны по двум углам.

2. В подобных треугольниках соответствующие стороны пропорциональны: $$ \frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO}$$.

3. Выразим ОВ из пропорции: $$OB = \frac{AO \cdot DO}{CO} = \frac{5 \cdot 6}{4} = \frac{30}{4} = 7.5 \text{ см}$$.

4. Запишем отношение AC : BD как $$ \frac{AC}{BD} = \frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO} = \frac{5}{7.5} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$.

5. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $$ \frac{S_{AOC}}{S_{BOD}} = (\frac{AC}{BD})^2 = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$$.

Ответ: ОВ = 7.5 см, АС : BD = 2/3, отношение площадей треугольников АОС и BOD = 4/9.