Подготовительный вариант. 1. Упростите выражение: \(\left(\frac{1}{1-t}+\frac{2}{t^3-1}:\frac{1+t}{1+t+t^2}\right):\frac{t}{1+t}\).

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Область допустимых значений исходного выражения: \(t\ne1\), \(t\ne-1\), \(t\ne0\).

Сначала упростим деление внутри скобок, разложив \(t^3-1=(t-1)(t^2+t+1)\):

\(\frac{2}{t^3-1}:\frac{1+t}{1+t+t^2}=\frac{2}{(t-1)(t^2+t+1)}\cdot\frac{t^2+t+1}{t+1}=\frac{2}{(t-1)(t+1)}.\)

Так как \(\frac{1}{1-t}=-\frac{1}{t-1}\), выражение в скобках равно

\(-\frac{1}{t-1}+\frac{2}{(t-1)(t+1)}=\frac{-(t+1)+2}{(t-1)(t+1)}=-\frac{1}{t+1}.\)

Теперь разделим на \(\frac{t}{1+t}\): \(-\frac{1}{t+1}:\frac{t}{1+t}=-\frac{1}{t}\).

Ответ: \(-\frac{1}{t}\), где \(t\ne-1,0,1\).