Вариант 2. 5. Докажите, что число \(107\cdot109\cdot111\cdot113+16\) можно представить как произведение двух одинаковых натуральных чисел.

Сгруппируем множители симметрично относительно 110:

\(107\cdot109\cdot111\cdot113+16=(110-3)(110-1)(110+1)(110+3)+16\).

Объединим пары: \((110-3)(110+3)=110^2-9\), \((110-1)(110+1)=110^2-1\).

Пусть \(y=110^2\). Тогда исходное число равно \((y-9)(y-1)+16=y^2-10y+25=(y-5)^2\).

Следовательно, \((110^2-5)^2=12095^2\), то есть число является произведением двух одинаковых натуральных чисел: \(12095\cdot12095\).