Показать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, если: 1) b₂ = -81, S₂ = 162; 2) b₂ = 33, S₂ = 67; 3) b₁ + b₂ = 130, b₁ - b₃ = 120; 4) b₂ + b₄ = 68, b₂ - b₄ = 4

Пояснение:

Геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, если её знаменатель \(q\) удовлетворяет условию \(-1 < q < 1\).

Разберём каждый случай:

1) \(b₂ = -81, S₂ = 162\)

Формулы для геометрической прогрессии:

\(S_n = b_1 \frac{1-q^n}{1-q}\)

\(b_n = b_1 q^{n-1}\)

Из \(b_2 = b_1 q = -81\) и \(S_2 = b_1 + b_1 q = b_1(1+q) = 162\).

Разделим второе уравнение на первое:

\(\frac{b_1(1+q)}{b_1 q} = \frac{162}{-81}\)

\(\frac{1+q}{q} = -2\)

\(1+q = -2q\)

\(3q = -1\)

\(q = -\frac{1}{3}\)

Так как \(-1 < -\frac{1}{3} < 1\), прогрессия является бесконечно убывающей.

2) \(b₂ = 33, S₂ = 67\)

\(b_1 q = 33\)

\(b_1(1+q) = 67\)

Разделим второе уравнение на первое:

\(\frac{1+q}{q} = \frac{67}{33}\)

\(33(1+q) = 67q\)

\(33 + 33q = 67q\)

\(34q = 33\)

\(q = \frac{33}{34}\)

Так как \(-1 < \frac{33}{34} < 1\), прогрессия является бесконечно убывающей.

3) \(b₁ + b₂ = 130, b₁ - b₃ = 120\)

\(b_1 + b_1 q = 130 → b_1(1+q) = 130\)

\(b_1 - b_1 q^2 = 120 → b_1(1-q^2) = 120\)

Разделим второе уравнение на первое:

\(\frac{b_1(1-q^2)}{b_1(1+q)} = \frac{120}{130}\)

\(\frac{(1-q)(1+q)}{1+q} = \frac{12}{13}\)

\(1-q = \frac{12}{13}\)

\(q = 1 - \frac{12}{13} = \frac{1}{13}\)

Так как \(-1 < \frac{1}{13} < 1\), прогрессия является бесконечно убывающей.

4) \(b₂ + b₄ = 68, b₂ - b₄ = 4\)

\(b_1 q + b_1 q^3 = 68 → b_1 q (1+q^2) = 68\)

\(b_1 q - b_1 q^3 = 4 → b_1 q (1-q^2) = 4\)

Разделим первое уравнение на второе:

\(\frac{b_1 q (1+q^2)}{b_1 q (1-q^2)} = \frac{68}{4}\)

\(\frac{1+q^2}{1-q^2} = 17\)

\(1+q^2 = 17(1-q^2)\)

\(1+q^2 = 17 - 17q^2\)

\(18q^2 = 16\)

\(q^2 = \frac{16}{18} = \frac{8}{9}\)

\(q = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}\)

Оба значения \(q = \frac{2\sqrt{2}}{3}\) и \(q = -\frac{2\sqrt{2}}{3}\) удовлетворяют условию \(-1 < q < 1\) (так как \(2\sqrt{2} \approx 2.828\), то \(q \approx \pm 0.943\)). Следовательно, прогрессия является бесконечно убывающей.

Ответ: Во всех случаях (1, 2, 3, 4) геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.