Упростить выражение: \((\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})^2 - (\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})^2\)

Решение:

Воспользуемся формулами квадрата суммы и квадрата разности:

\((x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\)

\((x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2\)

Применим эти формулы к нашему выражению, где \(x = \sqrt[3]{a}\) и \(y = \sqrt[3]{b}\):

\((\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})^2 = (\sqrt[3]{a})^2 + 2\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} + (\sqrt[3]{b})^2 = \sqrt[3]{a^2} + 2\sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}\)

\((\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})^2 = (\sqrt[3]{a})^2 - 2\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} + (\sqrt[3]{b})^2 = \sqrt[3]{a^2} - 2\sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}\)

Теперь вычтем второе выражение из первого:

\((\sqrt[3]{a^2} + 2\sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}) - (\sqrt[3]{a^2} - 2\sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2})\)

Раскроем скобки:

\(\sqrt[3]{a^2} + 2\sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2} - \sqrt[3]{a^2} + 2\sqrt[3]{ab} - \sqrt[3]{b^2}\)

Сгруппируем подобные члены:

\((\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{a^2}) + (2\sqrt[3]{ab} + 2\sqrt[3]{ab}) + (\sqrt[3]{b^2} - \sqrt[3]{b^2})\)

\(0 + 4\sqrt[3]{ab} + 0 = 4\sqrt[3]{ab}\)

Ответ: \(4\sqrt[3]{ab}\).