Записать бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной: 1) 1,10(209); 2) 0,108(32).

Решение:

1) \(1.10\overline{209}\)

Обозначим исходную дробь через \(x\):

\(x = 1.10209209... \)

Умножим на 100, чтобы переместить десятичную запятую перед началом периода:

\(100x = 110.209209... \)

Умножим на 1000 (длина периода), чтобы получить число с тем же началом периода:

\(100000x = 110209.209209... \)

Вычтем первое уравнение из второго:

\(100000x - 100x = 110209.209... - 110.209...\)

\(99900x = 110099\)

\(x = \frac{110099}{99900}\)

2) \(0.108\overline{32}\)

Обозначим исходную дробь через \(y\):

\(y = 0.1083232... \)

Умножим на 1000, чтобы переместить десятичную запятую перед началом периода:

\(1000y = 108.3232... \)

Умножим на 100 (длина периода), чтобы получить число с тем же началом периода:

\(100000y = 10832.3232... \)

Вычтем первое уравнение из второго:

\(100000y - 1000y = 10832.32... - 108.32... \)

\(99000y = 10724\)

\(y = \frac{10724}{99000}\)

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:

\(y = \frac{10724 \div 4}{99000 \div 4} = \frac{2681}{24750}\)

Ответ: 1) \(\frac{110099}{99900}\); 2) \(\frac{2681}{24750}\).