Постройте график функции. y=|x|x+|x|-6x

Рассмотрим функцию $$y=|x|x+|x|-6x$$.

1) Если $$x \ge 0$$, то $$|x| = x$$ и функция принимает вид:

$$y = x \cdot x + x - 6x = x^2 - 5x = x(x-5)$$.

2) Если $$x < 0$$, то $$|x| = -x$$ и функция принимает вид:

$$y = -x \cdot x - x - 6x = -x^2 - 7x = -x(x+7)$$.

Итого, кусочно-заданная функция:

$$y = \begin{cases}x^2 - 5x, & x \ge 0\\-x^2 - 7x, & x < 0\end{cases}$$

Начертим график функции.

1) Парабола $$y = x^2 - 5x$$, $$x \ge 0$$. Вершина параболы: $$x_v = -\frac{-5}{2} = 2.5$$, $$y_v = (2.5)^2 - 5(2.5) = 6.25 - 12.5 = -6.25$$.

Точка пересечения с осью OX: $$x^2 - 5x = 0$$ => $$x(x-5) = 0$$ => $$x_1 = 0$$, $$x_2 = 5$$.

2) Парабола $$y = -x^2 - 7x$$, $$x < 0$$. Вершина параболы: $$x_v = -\frac{-7}{2} = -3.5$$, $$y_v = -(-3.5)^2 - 7(-3.5) = -12.25 + 24.5 = 12.25$$.

Точка пересечения с осью OX: $$-x^2 - 7x = 0$$ => $$-x(x+7) = 0$$ => $$x_1 = 0$$, $$x_2 = -7$$.

График:

        ^ y
        |
       12.25 *     / \
          *    /       \
        *   /           \
       *  /             \
      * /               \
     *|/                 \
----*-+------------------> x
   -7 |    2.5      5
      *\               /
       * \             /
        *  \           /
         *   \         /
       -6.25*    \       /
            *     \     /
              *      \