Постройте график функции f(x) = cos3x, укажите её промежутки возрастания и убывания.

Для построения графика функции $$f(x) = \cos(3x)$$, нужно понимать, что это сжатие стандартного косинуса вдоль оси x в 3 раза.

1. Область определения: $$x \in \mathbb{R}$$

2. Область значений: $$y \in [-1, 1]$$

3. Период: $$T = \frac{2\pi}{3}$$

4. Нули функции: $$3x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$$

5. Промежутки возрастания и убывания:

Найдем производную: $$f'(x) = -3\sin(3x)$$

Критические точки: $$f'(x) = 0 \Rightarrow -3\sin(3x) = 0 \Rightarrow 3x = \pi k, k \in \mathbb{Z} \Rightarrow x = \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$$

Интервалы:

• $$x \in (\frac{-\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3}, \frac{\pi k}{3})$$ - функция возрастает.
• $$x \in (\frac{\pi k}{3}, \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3})$$ - функция убывает.

График:

Ответ: График построен, указаны промежутки возрастания и убывания.