Постройте график функции f(x) = sin x/2, укажите её промежутки возрастания и убывания.

Рассмотрим функцию $$f(x) = \sin \frac{x}{2}$$.

1. Область определения: $$x \in \mathbb{R}$$

2. Область значений: $$y \in [-1, 1]$$

3. Период: $$T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$$

4. Найдем производную: $$f'(x) = \frac{1}{2} \cos \frac{x}{2}$$

5. Нули производной: $$\frac{1}{2} \cos \frac{x}{2} = 0 \Rightarrow \cos \frac{x}{2} = 0 \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \Rightarrow x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$

6. Промежутки возрастания и убывания:

• $$f'(x) > 0 \Rightarrow \cos \frac{x}{2} > 0 \Rightarrow \frac{x}{2} \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in (-\pi + 4\pi k, \pi + 4\pi k), k \in \mathbb{Z}$$ - функция возрастает.
• $$f'(x) < 0 \Rightarrow \cos \frac{x}{2} < 0 \Rightarrow \frac{x}{2} \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in (\pi + 4\pi k, 3\pi + 4\pi k), k \in \mathbb{Z}$$ - функция убывает.

График функции:

Ответ: График построен, указаны промежутки возрастания и убывания.