3. Постройте график функции $$f(x) = x^2 - 2x - 3$$. Используя график, найдите: 1) область значений функции; 2) промежуток убывания функции; 3) множество решений неравенства $$f(x) < 0$$.

Функция $$f(x) = x^2 - 2x - 3$$ является квадратичной функцией, графиком которой является парабола. Найдем вершину параболы: $$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2(1)} = 1$$ $$y_в = f(1) = (1)^2 - 2(1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$$ Вершина параболы: $$(1, -4)$$ 1) Область значений функции: $$[-4, +\infty)$$ 2) Промежуток убывания функции: $$(-\infty, 1]$$ 3) Решим неравенство $$x^2 - 2x - 3 < 0$$. Найдем корни квадратного уравнения $$x^2 - 2x - 3 = 0$$. $$D = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16$$ $$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{2 + 4}{2} = 3$$ $$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{2 - 4}{2} = -1$$ Так как парабола направлена вверх, неравенство выполняется между корнями: $$-1 < x < 3$$ Множество решений неравенства: $$(-1, 3)$$ Ответ: 1) Область значений: $$[-4, +\infty)$$ 2) Промежуток убывания: $$(-\infty, 1]$$ 3) Множество решений неравенства: $$(-1, 3)$$