4. Постройте график функции f(x)=3x²+2x+1 и опишите её свойства.

Построим график функции $$f(x) = 3x^2 + 2x + 1$$ и опишем её свойства.

1. Функция является квадратичной, ее график - парабола.

2. Определим координаты вершины параболы: $$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 3} = -\frac{1}{3}$$.$$y_v = f(x_v) = 3(-\frac{1}{3})^2 + 2(-\frac{1}{3}) + 1 = 3 \cdot \frac{1}{9} - \frac{2}{3} + 1 = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} + 1 = \frac{2}{3}$$.Вершина параболы: $$(-\frac{1}{3}; \frac{2}{3})$$.

3. Коэффициент при $$x^2$$ равен 3, что больше 0. Значит, ветви параболы направлены вверх.

4. Найдем точки пересечения с осью y: при $$x = 0$$, $$f(0) = 3 \cdot 0^2 + 2 \cdot 0 + 1 = 1$$.Точка пересечения с осью y: $$(0; 1)$$.

5. Найдем точки пересечения с осью x: решим уравнение $$3x^2 + 2x + 1 = 0$$.Дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 4 - 12 = -8$$.Так как дискриминант отрицательный, парабола не пересекает ось x.

6. График функции:

Ответ: График параболы с вершиной в точке $$(-1/3, 2/3)$$, ветви направлены вверх, не пересекает ось x.