Постройте график функции у=\frac{(x-1)(x²-4)}{x-2} и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Функция имеет вид:

\[y = \frac{(x-1)(x^2-4)}{x-2} = \frac{(x-1)(x-2)(x+2)}{x-2}\]

При условии \(x
eq 2\), функцию можно упростить:

\[y = (x-1)(x+2) = x^2 + 2x - x - 2 = x^2 + x - 2\]

Таким образом, графиком является парабола \(y = x^2 + x - 2\) с выколотой точкой при \(x = 2\).

Найдем значение функции в точке \(x = 2\):

\[y(2) = 2^2 + 2 - 2 = 4\]

Координаты выколотой точки: \((2; 4)\).

Найдем вершину параболы:

\[x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{-1}{2(1)} = -\frac{1}{2}\]

\[y_в = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right) - 2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 2 = \frac{1 - 2 - 8}{4} = -\frac{9}{4} = -2.25\]

Вершина параболы: \((-0.5; -2.25)\).

Теперь построим график функции и определим, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно одну общую точку. Прямая должна либо проходить через вершину параболы, либо через выколотую точку.

• Через вершину параболы: \(m = -2.25\)

\[y_в = -\frac{9}{4} = -2.25\]

• Через выколотую точку: \(m = 4\)

Но так как нужно, чтобы прямая имела с графиком ровно одну общую точку, значение m = -9/4 не подходит, так как она имеет две общие точки.

Для случая когда прямая проходит через выколотую точку только при m = 4, а при m = -9/4, получается две точки пересечения.

Поэтому уравнение должно иметь вид:

\[x^2+x-2 = m\]

\[D = 1 - 4(-2-m) = 1 + 8 + 4m = 9+4m\]

\[D = 0 \rightarrow 9 + 4m = 0 \rightarrow 4m = -9 \rightarrow m = -9/4\]

\[x = -1/2\]

Но есть еще один случай:

\[x
eq 2 \rightarrow 4 + 2 - 2 = m \rightarrow m = 4\]

Тогда получается, что у нас одна точка при m = 4, а другая при m = -9/4.

\[x^2+x-2 = 4 \rightarrow x^2 + x - 6 = 0\rightarrow (x+3)(x-2) = 0\rightarrow x = -3, x = 2 \rightarrow x = -3, y = 4 \rightarrow m = 4\]

\[x^2+x-2 = -9/4 \rightarrow x^2 + x -2 + 9/4 = 0 \rightarrow x^2 + x + 1/4 = 0\rightarrow (x+1/2)^2 = 0 \rightarrow x = -1/2 , y = -9/4 \rightarrow m = -9/4 \]

\[x = 2, y = 4, x = -1/2, y = -9/4\]

Тогда получается ответ при m = -3 и m = 4