22 Постройте график функции у =\frac{(x²+3x+2)(x²-4x+3)}{x²-2x-3} и определите, при каких значениях т прямая ут имеет с графиком ровно одну общую точку.

Разложим числитель и знаменатель на множители:

$$y = \frac{(x^2+3x+2)(x^2-4x+3)}{x^2-2x-3} = \frac{(x+1)(x+2)(x-1)(x-3)}{(x+1)(x-3)}$$

Сократим дробь, учитывая ОДЗ: $$x
eq -1, x
eq 3$$.

$$y = (x+2)(x-1) = x^2 + x - 2$$, при $$x
eq -1, x
eq 3$$.

$$y(-1) = (-1)^2 + (-1) - 2 = 1 - 1 - 2 = -2$$.

$$y(3) = 3^2 + 3 - 2 = 9 + 3 - 2 = 10$$.

Графиком функции является парабола $$y = x^2 + x - 2$$ с выколотыми точками $$(-1; -2)$$ и $$(3; 10)$$.

Найдем вершину параболы:

$$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -0.5$$.

$$y_v = (-0.5)^2 + (-0.5) - 2 = 0.25 - 0.5 - 2 = -2.25$$.

Прямая $$y = m$$ имеет с графиком ровно одну общую точку, если она проходит через вершину параболы или через выколотую точку.

Тогда $$m = -2.25$$, $$m = -2$$ или $$m = 10$$.

Ответ: -2.25; -2; 10