24 В треугольнике АВС с тупым углом АВС проведены высоты АА₁ и СС₁. Докажите, что треугольники А₁ВС₁ и АВС подобны.

Рассмотрим четырехугольник $$A_1ACC_1$$.

Т.к. $$AA_1$$ и $$CC_1$$ - высоты, то $$∠AA_1C=90°$$ и $$∠ACC_1=90°$$.

Тогда около четырехугольника $$A_1ACC_1$$ можно описать окружность, т.к. сумма противоположных углов равна 180°.

Тогда углы $$∠AA_1C_1$$ и $$∠ACC_1$$ опираются на одну дугу, а значит они равны: $$∠AA_1C_1=∠ACC_1$$.

Аналогично, углы $$∠C_1A_1B$$ и $$∠CAB$$ опираются на одну дугу, а значит они равны: $$∠C_1A_1B=∠CAB$$.

Тогда $$∠C_1A_1B=∠CAB$$ и $$∠AA_1C_1=∠ACC_1$$.

Следовательно, треугольники $$A_1BC_1$$ и $$ABC$$ подобны по двум углам.