Биссектрисы углов А и В при боковой стороне АВ трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите АВ, если AF = 24, BF=7.

Пусть ABCD - трапеция, AB - боковая сторона, AF - биссектриса угла A, BF - биссектриса угла B, F - точка пересечения биссектрис углов A и B.

Так как AF - биссектриса угла A, то \(\angle BAF = \angle FAD\).

Так как BF - биссектриса угла B, то \(\angle ABF = \angle FBC\).

Так как AB - боковая сторона трапеции, то углы A и B являются внутренними односторонними углами, и их сумма равна 180 градусам: \(\angle A + \angle B = 180^{\circ}\).

Тогда \(\frac{1}{2} \angle A + \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2} (\angle A + \angle B) = \frac{1}{2} (180^{\circ}) = 90^{\circ}\).

В треугольнике ABF: \(\angle BAF + \angle ABF + \angle AFB = 180^{\circ}\).

Значит, \(\angle AFB = 180^{\circ} - (\angle BAF + \angle ABF) = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}\).

Таким образом, треугольник ABF - прямоугольный, и AB - гипотенуза.

По теореме Пифагора: \(AB^2 = AF^2 + BF^2\).

Подставляем известные значения: \(AB^2 = 24^2 + 7^2 = 576 + 49 = 625\).

Тогда \(AB = \sqrt{625} = 25\).

Ответ: 25