22 Постройте график функции у= |х²+4х|+2х+4 и определите, при каких значениях т прямая ут имеет с этим графиком четыре общие точки.

Рассмотрим функцию y = |x² + 4x| + 2x + 4

График функции можно построить, рассмотрев два случая:

1) Если x² + 4x ≥ 0, то |x² + 4x| = x² + 4x, и y = x² + 4x + 2x + 4 = x² + 6x + 4

2) Если x² + 4x < 0, то |x² + 4x| = -(x² + 4x), и y = -x² - 4x + 2x + 4 = -x² - 2x + 4

Найдем, при каких x выполняется условие x² + 4x ≥ 0: x(x + 4) ≥ 0. Решением будет x ≤ -4 или x ≥ 0

Найдем, при каких x выполняется условие x² + 4x < 0: x(x + 4) < 0. Решением будет -4 < x < 0

Таким образом, получаем кусочно-заданную функцию:

y = x² + 6x + 4, если x ≤ -4 или x ≥ 0

y = -x² - 2x + 4, если -4 < x < 0

Исследуем функцию y = x² + 6x + 4 на участках x ≤ -4 и x ≥ 0

Вершина параболы: x = -b / 2a = -6 / 2 = -3, но это значение не входит в рассматриваемые интервалы. При x = -4, y = (-4)² + 6(-4) + 4 = 16 - 24 + 4 = -4. При x = 0, y = 0² + 6(0) + 4 = 4

Исследуем функцию y = -x² - 2x + 4 на участке -4 < x < 0

Вершина параболы: x = -b / 2a = -(-2) / (-2) = -1. Значение входит в рассматриваемый интервал. При x = -1, y = -(-1)² - 2(-1) + 4 = -1 + 2 + 4 = 5

При x = -4, y = -(-4)² - 2(-4) + 4 = -16 + 8 + 4 = -4. При x = 0, y = -0² - 2(0) + 4 = 4

Таким образом, график функции состоит из двух парабол: одна с ветвями вверх (x ≤ -4 и x ≥ 0), другая с ветвями вниз (-4 < x < 0). Парабола с ветвями вниз имеет вершину в точке (-1, 5)

Для того, чтобы прямая y = m имела с графиком 4 общие точки, она должна проходить между значением y в точке x = -4 и значением y в вершине параболы на участке -4 < x < 0. То есть -4 < m < 5

Ответ: -4 < m < 5