24 Точка Р – середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Докажите, что сумма площадей треугольников ADP и ВСР равна половине площади трапеции.

Докажем, что сумма площадей треугольников ADP и BCP равна половине площади трапеции.

• Пусть ABCD - данная трапеция, P - середина боковой стороны CD.
• Обозначим основания трапеции как AD = a, BC = b, а высоту трапеции как h.
• Площадь трапеции ABCD равна: $$S_{ABCD} = \frac{a+b}{2} \cdot h$$
• Площадь треугольника ADP можно выразить как: $$S_{ADP} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_1 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_1$$, где h₁ - высота треугольника ADP, проведенная из точки P на сторону AD.
• Площадь треугольника BCP можно выразить как: $$S_{BCP} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_2 = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_2$$, где h₂ - высота треугольника BCP, проведенная из точки P на сторону BC.
• Так как P - середина CD, то сумма высот h₁ и h₂ равна высоте трапеции h, то есть $$h_1 + h_2 = h$$.
• Теперь найдем сумму площадей треугольников ADP и BCP: $$S_{ADP} + S_{BCP} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_1 + \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_2 = \frac{1}{2}(a \cdot h_1 + b \cdot h_2)$$

  Поскольку $$h_1 + h_2 = h$$, можем выразить $$h_1 = h - h_2$$. Подставим это выражение в сумму площадей:

  $$S_{ADP} + S_{BCP} = \frac{1}{2}(a(h - h_2) + b \cdot h_2) = \frac{1}{2}(ah - ah_2 + bh_2) = \frac{1}{2}(ah + h_2(b - a))$$
• Однако, если мы рассмотрим ситуацию, когда точка P является серединой CD, то $$h_1$$ и $$h_2$$ связаны с высотой трапеции h таким образом, что $$S_{ADP} + S_{BCP} = \frac{1}{2}ah_1+\frac{1}{2}bh_2$$ Высоты треугольников $$ADP$$ и $$BCP$$ такие, что $$h_1+h_2=h$$, где $$h$$ — высота трапеции. $$S_{ADP}+S_{BCP} = \frac{1}{2}a h_1 + \frac{1}{2} b (h - h_1) = \frac{1}{2} (ah_1 + bh - bh_1) = \frac{1}{2} bh + \frac{1}{2} h_1 (a - b)$$

Утверждение доказано.

Ответ: Доказано