25 Точки Ми N лежат на стороне АС треугольника АВС на расстояниях соответственно 18 и 22 от вершины А. Найдите радиус окружности, проходящей через точки М и № √11 и касающейся луча АВ, если cos∠BAC = 6

Пусть окружность, проходящая через точки M и N и касающаяся луча AB, имеет центр O и радиус R. Обозначим точку касания на луче AB как K.

• AM = 18, AN = 22.
• Пусть ∠BAC = α. Дано cos(α) = √11/6.
• Так как окружность касается луча AB в точке K, то OK ⊥ AB. Треугольник AKO является прямоугольным, и AK = R / tg(α).

Вычислим sin(α), используя основное тригонометрическое тождество: sin²(α) + cos²(α) = 1

$$sin^2(α) = 1 - cos^2(α) = 1 - (\frac{\sqrt{11}}{6})^2 = 1 - \frac{11}{36} = \frac{25}{36}$$ $$sin(α) = \frac{5}{6}$$

Теперь найдем радиус R.

Рассмотрим треугольник AMO, где AM = 18. Согласно теореме косинусов, $$OM^2 = AO^2 + AM^2 - 2 \cdot AO \cdot AM \cdot cos(α)$$ $$R^2 = AO^2 + 18^2 - 2 \cdot AO \cdot 18 \cdot \frac{\sqrt{11}}{6}$$ $$AO = \frac{R}{\sin(\alpha)} = \frac{6R}{5}$$

$$R^2 = (\frac{6R}{5})^2 + 18^2 - 2 \cdot \frac{6R}{5} \cdot 18 \cdot \frac{\sqrt{11}}{6}$$ $$R^2 = \frac{36R^2}{25} + 324 - \frac{36\sqrt{11}R}{5}$$ $$R^2 - \frac{36R^2}{25} + \frac{36\sqrt{11}R}{5} - 324 = 0$$ $$-\frac{11R^2}{25} + \frac{36\sqrt{11}R}{5} - 324 = 0$$ $$11R^2 - 180\sqrt{11}R + 8100 = 0$$ $$R = \frac{180\sqrt{11} \pm \sqrt{(180\sqrt{11})^2 - 4 \cdot 11 \cdot 8100}}{22}$$ $$R = \frac{180\sqrt{11} \pm \sqrt{356400 - 356400}}{22}$$ $$R = \frac{180\sqrt{11}}{22} = \frac{90\sqrt{11}}{11}$$ $$R= \frac{90}{\sqrt{11}}$$ $$R = \frac{90\sqrt{11}}{11}$$

Ответ: $$\frac{90\sqrt{11}}{11}$$