Постройте график функции у = х²+2,5х–2,5|x+2|+1. Определите, при каких значениях т прямая у=т имеет с графиком ровно 2 общие точки.

Рассмотрим функцию $$y = x^2 + 2.5x - 2.5|x+2| + 1$$.

Раскроем модуль:

1) Если $$x \ge -2$$, то $$|x+2| = x+2$$, и функция принимает вид:

$$y = x^2 + 2.5x - 2.5(x+2) + 1 = x^2 + 2.5x - 2.5x - 5 + 1 = x^2 - 4$$

2) Если $$x < -2$$, то $$|x+2| = -(x+2)$$, и функция принимает вид:

$$y = x^2 + 2.5x + 2.5(x+2) + 1 = x^2 + 2.5x + 2.5x + 5 + 1 = x^2 + 5x + 6$$

Таким образом, функция имеет вид:

$$y = \begin{cases} x^2 - 4, & x \ge -2 \\ x^2 + 5x + 6, & x < -2 \end{cases}$$

1) Рассмотрим случай $$x \ge -2$$, $$y = x^2 - 4$$. Это парабола с вершиной в точке $$(0, -4)$$. На отрезке $$x \ge -2$$ это часть параболы.

При $$x = -2$$, $$y = (-2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0$$.

2) Рассмотрим случай $$x < -2$$, $$y = x^2 + 5x + 6$$. Это парабола с вершиной в точке $$x_v = -\frac{5}{2} = -2.5$$.

$$y_v = (-2.5)^2 + 5(-2.5) + 6 = 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25$$

При $$x = -2$$, $$y = (-2)^2 + 5(-2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0$$.

График функции представляет собой кусочно-заданную функцию.

Найдем точки пересечения с осью абсцисс:

1) Для $$x \ge -2$$: $$x^2 - 4 = 0$$; $$x = \pm 2$$. По условию $$x \ge -2$$, поэтому $$x = 2$$.

2) Для $$x < -2$$: $$x^2 + 5x + 6 = 0$$; $$(x+2)(x+3) = 0$$, поэтому $$x = -2$$ или $$x = -3$$. По условию $$x < -2$$, поэтому $$x = -3$$.

Теперь построим график функции и посмотрим, при каких значениях $$m$$ прямая $$y=m$$ имеет ровно две общие точки с графиком функции.

Прямая $$y=m$$ будет иметь ровно две общие точки с графиком, когда она проходит через вершину одной из парабол или через точку соединения двух кусков графика.

Точка соединения двух кусков графика имеет координаты $$(-2, 0)$$. Значит, $$m = 0$$.

Вершина параболы $$y = x^2 + 5x + 6$$ имеет координаты $$(-2.5, -0.25)$$. Значит, $$m = -0.25$$.

График функции:

Ответ: -0.25, 0