3. Постройте график функции у = х2-4х+5. С помощью графика найдите: а) область определения и область значения; б) нули функции; в) промежутки знакопостоянства; г) промежутки возрастания и убывания; д) наименьшее и наибольшее значения функции, если они имеются.

y = -x² - 4x + 5

Это парабола, ветви направлены вниз, так как коэффициент при x² отрицательный.

a) Область определения: x ∈ ℝ (все действительные числа)

Чтобы найти область значений, найдем вершину параболы:

x_в = -b / (2a) = -(-4) / (2 * (-1)) = -2

y_в = -(-2)² - 4*(-2) + 5 = -4 + 8 + 5 = 9

Таким образом, вершина параболы (-2, 9), и область значений y ≤ 9.

б) Нули функции:

-x² - 4x + 5 = 0

x² + 4x - 5 = 0

D = 4² - 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36

x₁ = (-4 + √36) / 2 = (-4 + 6) / 2 = 1

x₂ = (-4 - √36) / 2 = (-4 - 6) / 2 = -5

Таким образом, нули функции x = 1 и x = -5.

в) Промежутки знакопостоянства:

y > 0 при -5 < x < 1

y < 0 при x < -5 и x > 1

г) Промежутки возрастания и убывания:

Функция возрастает при x < -2

Функция убывает при x > -2

д) Наименьшее и наибольшее значения функции, если они имеются:

Наибольшее значение: y = 9 при x = -2

Наименьшего значения не существует, так как ветви параболы направлены вниз и устремляются в минус бесконечность.

Ответ: а) область определения: x ∈ ℝ, область значений: y ≤ 9; б) нули функции: x = 1, x = -5; в) y > 0 при -5 < x < 1, y < 0 при x < -5 и x > 1; г) возрастает при x < -2, убывает при x > -2; д) наибольшее значение: y = 9.