Постройте график функции у = x²+x-5|x-1|-2. Определите, при каких значениях т прямая у = m имеет с графиком ровно три общие точки.

Рассмотрим функцию $$y = x^2 + x - 5|x-1| - 2$$. Функция содержит модуль, поэтому рассмотрим два случая: 1) Если $$x \ge 1$$, то $$|x-1| = x-1$$, и функция принимает вид: $$y = x^2 + x - 5(x-1) - 2 = x^2 + x - 5x + 5 - 2 = x^2 - 4x + 3$$. 2) Если $$x < 1$$, то $$|x-1| = -(x-1) = 1-x$$, и функция принимает вид: $$y = x^2 + x - 5(1-x) - 2 = x^2 + x - 5 + 5x - 2 = x^2 + 6x - 7$$. Таким образом, имеем две функции: $$y = \begin{cases} x^2 - 4x + 3, & x \ge 1 \\ x^2 + 6x - 7, & x < 1 \end{cases}$$. Исследуем каждую из парабол. Для первой параболы $$y = x^2 - 4x + 3$$: Вершина параболы: $$x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{4}{2} = 2$$, $$y_v = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$$. Вершина параболы $$(2, -1)$$. Так как рассматриваем случай $$x \ge 1$$, вершина входит в рассматриваемый участок параболы. При $$x = 1$$, $$y = 1 - 4 + 3 = 0$$. Для второй параболы $$y = x^2 + 6x - 7$$: Вершина параболы: $$x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-6}{2} = -3$$, $$y_v = (-3)^2 + 6 \cdot (-3) - 7 = 9 - 18 - 7 = -16$$. Вершина параболы $$(-3, -16)$$. Так как рассматриваем случай $$x < 1$$, вершина входит в рассматриваемый участок параболы. При $$x = 1$$, $$y = 1 + 6 - 7 = 0$$. График функции представляет собой две ветви парабол, соединенные в точке $$(1, 0)$$. Чтобы прямая $$y = m$$ имела с графиком ровно три общие точки, она должна проходить через вершину одной из парабол, кроме точки соединения. Первая парабола имеет вершину в точке $$(2, -1)$$, следовательно, $$m = -1$$. Вторая парабола имеет вершину в точке $$(-3, -16)$$, следовательно, $$m = -16$$. Ответ: При $$m = -16$$ и $$m = -1$$ прямая $$y = m$$ имеет с графиком ровно три общие точки.