Постройте график функции у = x²+x-5|x-1|-2. Определите, при каких значениях т прямая у=т имеет с графиком ровно три общие точки.

Предмет: Алгебра Для построения графика функции $$y = x^2 + x - 5|x-1| - 2$$ необходимо рассмотреть два случая: 1. Если $$x \geq 1$$, то $$|x-1| = x-1$$ и функция принимает вид: $$y = x^2 + x - 5(x-1) - 2 = x^2 + x - 5x + 5 - 2 = x^2 - 4x + 3$$. 2. Если $$x < 1$$, то $$|x-1| = -(x-1)$$ и функция принимает вид: $$y = x^2 + x + 5(x-1) - 2 = x^2 + x + 5x - 5 - 2 = x^2 + 6x - 7$$. Таким образом, функция имеет вид: $$y = \begin{cases} x^2 + 6x - 7, & x < 1 \\ x^2 - 4x + 3, & x \geq 1 \end{cases}$$ Найдем вершины парабол в обоих случаях: 1. Для $$x < 1$$: $$y = x^2 + 6x - 7$$, вершина: $$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2} = -3$$, $$y_v = (-3)^2 + 6(-3) - 7 = 9 - 18 - 7 = -16$$. Вершина параболы $$(-3, -16)$$. 2. Для $$x \geq 1$$: $$y = x^2 - 4x + 3$$, вершина: $$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2} = 2$$, $$y_v = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$$. Вершина параболы $$(2, -1)$$. График функции состоит из двух частей парабол, соединенных в точке $$x=1$$. Нам нужно определить, при каких значениях $$m$$ прямая $$y=m$$ имеет с графиком ровно три общие точки. Это происходит, когда прямая $$y=m$$ проходит через вершину одной из парабол или через точку соединения парабол при $$x=1$$. * При $$x=1$$: Для первой части параболы $$y = x^2 + 6x - 7$$: $$y = 1^2 + 6(1) - 7 = 1 + 6 - 7 = 0$$. * Для второй части параболы $$y = x^2 - 4x + 3$$: $$y = 1^2 - 4(1) + 3 = 1 - 4 + 3 = 0$$. Таким образом, в точке соединения $$(1, 0)$$ обе параболы имеют одинаковое значение. Прямая $$y=m$$ имеет три общие точки с графиком, когда она проходит через вершину одной из парабол или через точку соединения графиков при $$x=1$$. 1. Вершина первой параболы $$(-3, -16)$$: $$y = -16$$. Но так как это $$x < 1$$, это значение подходит. 2. Вершина второй параболы $$(2, -1)$$: $$y = -1$$. Но так как это $$x \geq 1$$, это значение подходит. 3. Точка соединения графиков $$(1, 0)$$: $$y = 0$$. В этой точке происходит соединение двух парабол. Так как нам нужно три точки пересечения, это значение тоже может подходить. Значения $$m$$, при которых прямая $$y=m$$ имеет ровно три общие точки с графиком функции: $$m=-16$$, $$m=-1$$, $$m=0$$. Ответ: m = -16; -1; 0.