Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку N. Докажите, что сумма площадей треугольников ABN и CND равна сумме площадей треугольников BNC и AND.

Предмет: Геометрия Пусть $$ABCD$$ — параллелограмм, а $$N$$ — произвольная точка внутри него. Обозначим площади треугольников как $$S_{ABN}, S_{CND}, S_{BNC}, S_{AND}$$. Нужно доказать, что $$S_{ABN} + S_{CND} = S_{BNC} + S_{AND}$$. Обозначим высоту параллелограмма, проведенную к стороне $$AB$$ (она же к стороне $$CD$$), как $$h$$. Пусть $$h_1$$ — расстояние от точки $$N$$ до стороны $$AB$$, а $$h_2$$ — расстояние от точки $$N$$ до стороны $$CD$$. Тогда $$h = h_1 + h_2$$. Площадь параллелограмма $$ABCD$$ равна $$S_{ABCD} = AB \cdot h$$. Площадь треугольника $$ABN$$ равна $$S_{ABN} = \frac{1}{2} AB \cdot h_1$$. Площадь треугольника $$CND$$ равна $$S_{CND} = \frac{1}{2} CD \cdot h_2$$. Сумма площадей треугольников $$ABN$$ и $$CND$$ равна: $$S_{ABN} + S_{CND} = \frac{1}{2} AB \cdot h_1 + \frac{1}{2} CD \cdot h_2$$ Так как $$AB = CD$$, можно записать: $$S_{ABN} + S_{CND} = \frac{1}{2} AB \cdot h_1 + \frac{1}{2} AB \cdot h_2 = \frac{1}{2} AB (h_1 + h_2) = \frac{1}{2} AB \cdot h = \frac{1}{2} S_{ABCD}$$ Теперь рассмотрим треугольники $$BNC$$ и $$AND$$. Обозначим высоту параллелограмма, проведенную к стороне $$BC$$ (она же к стороне $$AD$$), как $$h'$$. Пусть $$h_3$$ — расстояние от точки $$N$$ до стороны $$BC$$, а $$h_4$$ — расстояние от точки $$N$$ до стороны $$AD$$. Тогда $$h' = h_3 + h_4$$. Площадь треугольника $$BNC$$ равна $$S_{BNC} = \frac{1}{2} BC \cdot h_3$$. Площадь треугольника $$AND$$ равна $$S_{AND} = \frac{1}{2} AD \cdot h_4$$. Сумма площадей треугольников $$BNC$$ и $$AND$$ равна: $$S_{BNC} + S_{AND} = \frac{1}{2} BC \cdot h_3 + \frac{1}{2} AD \cdot h_4$$ Так как $$BC = AD$$, можно записать: $$S_{BNC} + S_{AND} = \frac{1}{2} BC \cdot h_3 + \frac{1}{2} BC \cdot h_4 = \frac{1}{2} BC (h_3 + h_4) = \frac{1}{2} BC \cdot h' = \frac{1}{2} S_{ABCD}$$ Таким образом, $$S_{ABN} + S_{CND} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$$ и $$S_{BNC} + S_{AND} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$$, следовательно, $$S_{ABN} + S_{CND} = S_{BNC} + S_{AND}$$. Что и требовалось доказать.