22. Постройте график функции у = (x4 - 29x² + 100)/((x-5)(x+2)). Определите, при каких значениях с прямая у = с имеет с графиком ровно одну общую точку.

Преобразуем функцию:

$$y = \frac{x^4 - 29x^2 + 100}{(x-5)(x+2)} = \frac{(x^2 - 25)(x^2 - 4)}{(x-5)(x+2)} = \frac{(x - 5)(x + 5)(x - 2)(x + 2)}{(x-5)(x+2)}$$.

При $$x
e 5$$ и $$x
e -2$$, $$y = (x+5)(x-2) = x^2 + 3x - 10$$.

Графиком является парабола с выколотыми точками при x = 5 и x = -2.

Координаты вершины параболы:

$$x_v = -\frac{3}{2} = -1.5$$, $$y_v = (-1.5)^2 + 3 \cdot (-1.5) - 10 = 2.25 - 4.5 - 10 = -12.25$$.

Координаты выколотых точек:

При x = 5, y = (5+5)(5-2) = 10 * 3 = 30.

При x = -2, y = (-2+5)(-2-2) = 3 * (-4) = -12.

Прямая y = c имеет с графиком ровно одну общую точку в следующих случаях:

• Прямая проходит через вершину параболы: c = -12.25.
• Прямая проходит через выколотую точку (-2; -12): c = -12.

График функции (схематично):

      |
      |
30 ----|------------(5; 30)
      |
      |
-12 ---|---(-2;-12)-----
      |
-12.25|---*(-1.5;-12.25)---
      |---------------->

Ответ: -12.25; -12.