24. Сумма оснований трапеции равна 29, а её диагонали равны 20 и 21. Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.

Доказательство:

Пусть дана трапеция ABCD, основания BC и AD, диагонали AC = 20 и BD = 21, BC + AD = 29.

Докажем, что AC \u22a5 BD.

Через вершину C проведем прямую CE || BD.

Тогда BCDE - параллелограмм, ED = BC.

AE = AD + DE = AD + BC = 29.

В треугольнике ACE: AE = 29, AC = 20, CE = BD = 21.

Проверим теорему Пифагора:

$$AC^2 + CE^2 = 20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841$$.

$$AE^2 = 29^2 = 841$$.

Т.к. $$AC^2 + CE^2 = AE^2$$, то \u25b3 ACE - прямоугольный, \u2220 ACE = 90°.

Т.к. CE || BD, то \u2220 BDO = \u2220 ACE = 90°.

Следовательно, AC \u22a5 BD.