Постройте график функции $y=\frac{2|x|-1}{2x^2-|x|}$. Определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ не имеет с графиком данной функции общих точек.

Question

Вопрос: $Фото задания: Постройте график функции $y=\frac{2|x|-1}{2x^2-|x|}$. Определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ не имеет с…$ Фото задания

Постройте график функции $y=\frac{2|x|-1}{2x^2-|x|}$. Определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ не имеет с графиком данной функции общих точек.

Accepted Answer

Область определения задаётся условием $2x^2-|x|\ne0$, поэтому $x\ne0$ и $|x|\ne\frac12$.

Функция чётная, поскольку содержит только $|x|$. При $t=|x|>0$:

\[y=\frac{2t-1}{2t^2-t}=\frac{2t-1}{t(2t-1)}=\frac1t,\qquad t\ne\frac12.\]

Следовательно, график — части гиперболы $y=\frac1{|x|}$ при $x\ne0,\pm\frac12$, с выколотыми точками $\left(\frac12,2\right)$ и $\left(-\frac12,2\right)$.

Точки пересечения с прямой $y=kx$ удовлетворяют:

\[kx=\frac1{|x|}.\]

При $x>0$: $kx^2=1$, поэтому пересечение существует только при $k>0$. При $x<0$: $-kx^2=1$, поэтому пересечение существует только при $k<0$.

При $k=0$ пересечений нет. Для любого $k\ne0$ пересечение существует, кроме случаев, когда оно попадает в выколотую точку. Это происходит при $|x|=\frac12$, то есть $|k|=4$; однако для $k=4$ есть также точка пересечения при $x=-\frac12$? Проверка знаков показывает: при $k=4$ пересечение только при $x>0$, а точка выколота; при $k=-4$ пересечение только при $x<0$, также точка выколота.

Значит, общих точек нет при $k=0,4,-4$.

Ответ: $k\in\{-4,0,4\}$.

Постройте график функции \(y=\frac{2|x|-1}{2x^2-|x|}\). Определите, при каких значениях \(k\) прямая \(y=kx\) не имеет с графиком данной функции общих точек.

Ответ: