Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Т.к. $$BH$$ - высота прямоугольного треугольника $$ABC$$, то угол $$B = 90^{\circ}$$.
Окружность с диаметром $$BH$$ пересекает $$AB$$ и $$CB$$ в точках $$M$$ и $$N$$ соответственно.
Угол $$BMH = 90^{\circ}$$, т.к. опирается на диаметр $$BH$$. Угол $$BNH = 90^{\circ}$$, т.к. опирается на диаметр $$BH$$.
Рассмотрим четырехугольник $$BMNC$$. Угол $$B = 90^{\circ}$$, угол $$BMH = 90^{\circ}$$, угол $$BNH = 90^{\circ}$$. Следовательно, четырехугольник $$BMNC$$ - прямоугольник.
Треугольник $$ABC$$ прямоугольный, $$BH$$ - высота, следовательно, треугольники $$ABH$$ и $$BCH$$ прямоугольные.
Т.к. $$M$$ лежит на $$AB$$ и $$N$$ лежит на $$CB$$, а $$BMNC$$ - прямоугольник, то $$MN \parallel AC$$.
Треугольники $$MBN$$ и $$ABC$$ подобны по двум углам (угол $$B$$ общий, угол $$BMN =$$ углу $$BAC$$ как соответственные при параллельных прямых $$MN$$ и $$AC$$ и секущей $$AB$$).
Рассмотрим треугольник $$MBH$$. Он прямоугольный, угол $$BMH = 90^{\circ}$$. Т.к. $$BH$$ - диаметр, то центр окружности - середина $$BH$$. Обозначим её за $$O$$. Тогда $$OM = OB = OH = R$$, где $$R$$ - радиус окружности.
Треугольник $$BON$$ равнобедренный, $$OB = ON = R$$, значит, угол $$OBN =$$ углу $$ONB$$.
Т.к. $$MN \parallel AC$$, то $$\frac{BM}{BA} = \frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC}$$. Т.к. треугольник $$ABC$$ прямоугольный, то $$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}$$.
Т.к. $$BH$$ - высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, то $$BH^2 = AH \cdot HC$$.
Т.к. угол $$B = 90^{\circ}$$, а $$M$$ и $$N$$ лежат на окружности с диаметром $$BH$$, то $$MN$$ - хорда, стягивающая прямой угол, опирающийся на диаметр. Следовательно, угол $$MBN = 90^{\circ}$$.
Т.к. $$MN \parallel AC$$, то треугольник $$MBN$$ также прямоугольный. Т.к. треугольники $$MBN$$ и $$ABC$$ подобны, то $$\angle BAC = \angle BMN$$, $$\angle BCA = \angle BNM$$.
Т.к. $$BH$$ - биссектриса угла $$ABC$$, то $$\angle ABH = \angle CBH = 45^{\circ}$$.
Т.к. $$MN \parallel AC$$, то треугольник $$MBN$$ - равнобедренный прямоугольный треугольник. Следовательно, $$BM = BN$$.
Т.к. $$BH$$ - высота и биссектриса, то треугольник $$ABC$$ - равнобедренный прямоугольный треугольник. Следовательно, $$AB = BC$$.
Тогда $$\frac{MN}{AC} = \frac{BM}{AB}$$. $$AC = AB \sqrt{2}$$. $$\frac{MN}{AB \sqrt{2}} = \frac{BM}{AB}$$. $$MN = BM \sqrt{2}$$.
В прямоугольном треугольнике $$MBH$$: $$BH^2 = BM^2 + MH^2$$. Т.к. $$BMNC$$ - прямоугольник, то $$MH = CN$$.
Т.к. $$MN = 19$$, то $$BM = \frac{19}{\sqrt{2}}$$.
Рассмотрим треугольник $$MBH$$. $$BM = \frac{19}{\sqrt{2}}$$. $$\angle MBH = 45^{\circ}$$. Тогда $$BH = \frac{BM}{\cos 45^{\circ}} = \frac{\frac{19}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = 19$$.
Ответ: $$BH = 19$$
