Постройте график функции y = x² − 13x − 5|x − 7| + 51 и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.

Разберём модуль по случаям.

При x < 7: y = x² − 8x + 16 = (x − 4)².

При x ≥ 7: y = x² − 18x + 86 = (x − 9)² + 5.

График состоит из частей этих парабол. При m = 5 горизонтальная прямая пересекает левую ветвь в двух точках, а правую — в вершине (9; 5), всего в трёх. При m > 9 левая часть даёт одну точку, поскольку один из корней уравнения (x − 4)² = m уже не удовлетворяет x < 7; правая часть даёт две точки. При m = 9 также получаются три точки: x = 2, 7, 11. Для остальных m число пересечений не равно трём.

Ответ: m = 5 или m ≥ 9.