Постройте график функции y = |x² - 6x + 5|. Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?

Решение:

Сначала построим график функции \( y = x^2 - 6x + 5 \). Это парабола, ветви которой направлены вверх.

Найдем вершину параболы. Координата x вершины: \( x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-6)}{2 · 1} = \frac{6}{2} = 3 \).

Координата y вершины: \( y_в = 3^2 - 6 · 3 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4 \). Вершина параболы находится в точке \( (3, -4) \).

Найдем точки пересечения с осью абсцисс, решив уравнение \( x^2 - 6x + 5 = 0 \):

\( (x-1)(x-5) = 0 \)

\( x_1 = 1, x_2 = 5 \).

Теперь построим график функции \( y = |x^2 - 6x + 5| \). Часть графика \( y = x^2 - 6x + 5 \), которая находится ниже оси абсцисс (где \( y < 0 \)), будет симметрично отражена вверх относительно оси абсцисс.

Таким образом, график \( y = |x^2 - 6x + 5| \) будет иметь:

• Вершину в точке \( (3, 4) \) (отраженная вершина \( (3, -4) \)).
• Пересекать ось абсцисс в точках \( (1, 0) \) и \( (5, 0) \).
• Ось y в точке \( (0, 5) \) (так как \( |0^2 - 6 · 0 + 5| = 5 \)).

Прямая, параллельная оси абсцисс, имеет вид \( y = k \), где \( k \) — некоторая константа.

Рассмотрим, сколько точек пересечения может иметь прямая \( y = k \) с графиком \( y = |x^2 - 6x + 5| \).

• Если \( k < 0 \), то прямая не пересекает график (0 точек).
• Если \( k = 0 \), то прямая пересекает график в двух точках (где \( x=1 \) и \( x=5 \)).
• Если \( 0 < k < 4 \), то прямая пересекает график в четырех точках.
• Если \( k = 4 \), то прямая пересекает график в трех точках (одна из них — вершина \( (3, 4) \), а две другие — симметричные точки).
• Если \( k > 4 \), то прямая пересекает график в двух точках.

Наибольшее число общих точек — 4.

Ответ: 4