Постройте график функции \(y=x|x|+2|x|-3x\). Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно две общие точки.

Раскроем модуль отдельно на двух промежутках:

При \(x<0\): \(y=-x^2-5x\). При \(x\ge0\): \(y=x^2-x\).

График состоит из этих двух частей парабол. Для наглядности точки соединения и характерные точки: левая часть проходит через \((-5,0)\), имеет вершину \((-2.5,6.25)\) и при приближении к нулю стремится к \((0,0)\); правая часть проходит через \((0,0)\), имеет вершину \((0.5,-0.25)\) и пересекает ось \(x\) в точке \((1,0)\).

На левой ветви горизонтальная прямая пересекает график: один раз при \(m<0\), два раза при \(0<m<6.25\), один раз при \(m=0\) или \(m=6.25\), и ни разу при \(m>6.25\). На правой ветви пересечений нет при \(m<-0.25\), одно при \(m=-0.25\) и при \(m>0\), два при \(-0.25<m\le0\).

Суммарно ровно два пересечения получаются при \(m=-0.25\) и \(m=6.25\).

Ответ: \(m=-\frac14\) или \(m=\frac{25}{4}\).