Точка $M$ — середина боковой стороны $AB$ трапеции $ABCD$, а $MC=MD$. Докажите, что трапеция $ABCD$ прямоугольная.

Question

Вопрос: $Фото задания: Точка $M$ — середина боковой стороны $AB$ трапеции $ABCD$, а $MC=MD$. Докажите, что трапеция $ABCD$ прямоугольная.$ Фото задания

Точка $M$ — середина боковой стороны $AB$ трапеции $ABCD$, а $MC=MD$. Докажите, что трапеция $ABCD$ прямоугольная.

Accepted Answer

Так как $AB$ — боковая сторона трапеции, её основания — $AD$ и $BC$, причём $AD\parallel BC$. Введём координаты: пусть $A=(0,0)$, $D=(0,d)$, $B=(u,v)$, $C=(u,v+d)$. Тогда $M=(u/2,v/2)$, поскольку $M$ — середина $AB$.

Из условия $MC=MD$ следует равенство квадратов расстояний:

$MC^2=(u/2)^2+(v/2+d)^2$, $MD^2=(u/2)^2+(d-v/2)^2$.

Приравнивая и сокращая одинаковые слагаемые, получаем $(v/2+d)^2=(d-v/2)^2$, откуда $2dv=0$. Так как высота трапеции $d\ne0$, то $v=0$.

Значит, $AB$ горизонтальна, а $AD$ вертикальна, поэтому $AB\perp AD$. Трапеция прямоугольная.

Точка \(M\) — середина боковой стороны \(AB\) трапеции \(ABCD\), а \(MC=MD\). Докажите, что трапеция \(ABCD\) прямоугольная.

Ответ: